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如何优雅的做数学题
发表于: | 分类: Oi | 评论:0 | 阅读:141

恩如果你是一名OI选手然后来看这篇文章,如果你想从中找到什么有意义的东西———

对不起这个真是OI无关……

我就是写点文化课里面少有的有意思的东西

持续更新qwq,有的题目如果最后归结到了硬算那我就不给出了qwq这里给出的都是

1.已知存在 $n$ 使得 $x^n+y^n=z^n, (n \ge 3)$,则三角形是______三角形

$g(t) = (\frac{x}{z})^t + (\frac{y}{z})^t$ , 显然 $g(t)$ 是个减函数,所以我们就有 $ 1 = g(t) < g(2) $

显然是锐角三角形咯qwq

2.求$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{\sum_{i=1}^n {i^{d}}}{n^{d+1}}$

这个东西对于一个OI选手来说当然是非常简单的辣~显然上下是两个度数相同的多项式,那么求这个东西的极限就是他们最高次项的系数比,然后我们算出对应项的伯努利数就好啦~

然而文化课的同学们可能没学过这么有趣的东西啊怎么办怎么办

不妨换一个考虑来思考,原式显然是可以化成 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (\frac{i}{n})^d$

注意这个式子其实是黎曼积分的形式!不妨在纸上和我一起画qwq如果你看到这些说明这个图挂掉了qwq

写到这会求导数的都会做了吧qwq

3.给定一个有限数列 ${ a_n } $ 共九项,其中前八项是1,第九项是2,给出一个通项公式,不允许分类讨论或者使用高斯函数

这题体现了一个很好的插值思想…………

构造函数 $g(x)=\prod_{i=1}^{8}(x-i)$

那么答案就是 $\frac{g(x)}{8!} + 1$, 害不害怕~ // 对其实就是拉格朗日差值

4.求数列 1,2,7,1,2,7...的通项公式,要求同上

跪zyzldz直接dft过去,当然其实我们发现这个周期是3,所以直接用$\sin^2(\frac{2\pi}{3}n)$ 和 $\sin(\frac{2\pi}{3}n)$ 构造就好啦,然后我们就可以愉快的待定系数法求解。

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