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Codeforces 791E 矩阵乘法+线段树
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Codeforces 719E 矩阵乘法+线段树


题目大意:

给定一个数列,请完成下面的两种操作

1.1 1 r z $[l,r]$区间加上一个数$z$

2.2 l r 查询$[l,r]$ 区间内所有的数字,对应在 $fib$ 中的值

例如 序列 1 3 2 4 5 ,2 2 3的结果就是 $fib(2) +fib(2) + fib(3) = 4$

区间的加法我们很容易想到线段树,但是这时求得已经不是原区间的和了,而是在$fib$ 数列中对应项的和,我们考虑转化

首先,正常求$fib$ 数列的第$k$ 项,我们可以利用矩阵乘法快速求出,大概是

$\begin{pmatrix}fib(i-2)&fib(i-1)\ \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1&1 \ 1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} fib(i-1)&fib(i)\end{pmatrix}$

由于矩阵乘法具有结合律,将中间的矩阵快速幂再乘上第一个矩阵可以得到最后想要的$fib(i)$,在这道题目中,我们其实还用到了另外一个性质:矩阵乘法在合法的情况下具有分配率,即
$ E* (A+B) = E* A+E*B $

$ (A+B)* E = A* E +B*E$

考虑在线段树上直接挂矩阵,我们可以在区间上传的时候将线段树上左右两个矩阵相加,在修改的时候传一个中间的矩阵的修改次幂,然后在sum和lazy上分别乘上,然后就是正常的lazy标记了

大概 在线段树上直接挂矩阵进行运算的想法还是很妙的。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
const int mod = 1e9+7;
typedef long long LL;
using namespace std;
const int M = 400005;

struct Matrix
{
    int n;
    int m;
    long long a[3][3];
    Matrix () {};
    Matrix (int x,int y)
    {
        n=x;
        m=y;
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
};
Matrix operator+(const Matrix &a,const Matrix &b)
{
    Matrix res (a.n,a.m);
    for(int i=0;i<a.n;++i)
        for(int j=0;j<b.m;++j)
            (res.a[i][j] += a.a[i][j] + b.a[i][j])%=mod;
    return res;
}

Matrix operator*(const Matrix &a,const Matrix &b)
{
    Matrix res (a.n,b.m);
    for(int i=0;i<a.n;++i)
        for(int j=0;j<b.m;++j)
            for(int k=0;k<a.m;++k)
                (res.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j])%=mod;
        return res;
}

Matrix pow(Matrix a,LL b)
{
    Matrix res (a.n,a.m);
    for(int i=0;i<a.n;++i)
        for(int j=0;j<a.m;++j)
            res.a[i][j] = (i == j);
    for(;b;b>>=1,a=a*a)
        if(b&1)
            res = res * a;
    return res;
}

struct seg
{
    Matrix lazy,sum;
    bool flag;
}tr[M];

void init(Matrix &b)
{
    b.n = b.m =2;
    for(int i=0;i<b.n;++i)
        for(int j=0;j<b.m;++j)
            b.a[i][j] = (i == j);
}

Matrix fib_init_Fir(int x)
{
    Matrix res(2,2);
    res.a[0][0] = res.a[1][0] = res.a[0][1] = 1;
    return pow(res,x-1);
}

Matrix fib_init_Sec(int x)
{
    Matrix res(2,2);
    res.a[0][0] = res.a[1][0] = res.a[0][1] = 1;
    return pow(res,x);
}

void updata(int k)
{
    tr[k].sum = tr[k<<1].sum + tr[k<<1|1].sum;
}

void down(int k)
{
    if(tr[k].flag)
    {
        tr[k<<1].lazy = tr[k].lazy * tr[k<<1].lazy;
        tr[k<<1|1].lazy = tr[k].lazy * tr[k<<1|1].lazy;
        tr[k<<1].sum = tr[k<<1].sum * tr[k].lazy;
        tr[k<<1|1].sum = tr[k<<1|1].sum * tr[k].lazy;
        tr[k<<1].flag = tr[k<<1|1].flag = 1;
        tr[k].flag = 0; init(tr[k].lazy);
    }
}

inline int read()
{
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
    while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
    return x * f;
}

void build(int k,int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
        int x = read();
        tr[k].sum = fib_init_Fir(x);
        init(tr[k].lazy); tr[k].flag = 0 ;
        return ;
    }
    tr[k].sum = Matrix(2,2); init(tr[k].lazy);tr[k].flag = 0;
    int mid = (l+r)>>1;
    build(k<<1,l,mid);
    build(k<<1|1,mid+1,r);
    updata(k);
}

void change(int k,int l,int r,int x,int y,Matrix tmp)
{
    if(x <= l  && r <= y)
    {
        tr[k].lazy = tr[k].lazy * tmp;
        tr[k].flag = 1;
        tr[k].sum = tr[k].sum * tmp;
        return ;
    }   
    down(k);
    int mid = (l+r)>>1;
    if(x <= mid)change(k<<1,l,mid,x,y,tmp);
    if(y > mid) change(k<<1|1,mid+1,r,x,y,tmp);
    updata(k);
}

LL ask(int k,int l,int r,int x,int y)
{
    if(x <= l && r <= y) return tr[k].sum.a[0][0];
    int mid = (l+r)>>1;
    down(k);
    LL ans = 0;
    if(x <= mid) ans += ask(k<<1,l,mid,x,y);
    if(y > mid) ans += ask(k<<1|1,mid+1,r,x,y);
    updata(k) ;
    return ans % mod;
}

void out(Matrix &a)
{
    for(int i=0;i<a.n;++i)
    {
        for(int j=0;j<a.m;++j)
            printf("%d ",a.a[i][j]);
        puts("");
    }
}

int main()
{
    int n = read(), m = read();
    build(1,1,n);
//  out(tr[1].lazy);
    while(m--)
    {
        int op = read(), l = read() , r = read();
        if(op == 1)
        {
            int x = read();
            change(1,1,n,l,r,fib_init_Fir(x+1));
        }
        else printf("%I64d\n",ask(1,1,n,l,r));
    }
}
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